Tiết diện va chạm và đường tự do trung bình

Một nghiên cứu thấu đáo về sự va chạm có xem xét các góc tán xạ và các thông số ảnh hưởng sẽ được đề cập tiếp theo tại các phần sau. Dưới đây là một cách tiếp cận đơn giản “bậc thứ tự không” để trình bày tổng quát hơn.

Xem xét một electron chuyển động thông qua các nguyên tử bền argon, xem hình dưới đây.

Tính toán đường tự do trung bình

Chỉ các va chạm đàn hồi sẽ được bàn thảo tại đây và các nguyên tử mục tiêu được xem như là quả cầu cứng và điện tử (electron) được giả định hoạt động như một khối điểm, hiệu ứng phát sinh từ các điện tích của nó là bỏ qua. Câu hỏi cần được giải quyết là các electron có thể được dự kiến sẽ thâm nhập bao xa trước khi có một sự va chạm.

Số lượng các nguyên tử mục tiêu (argon) trong một khối lập phương xyz là [n(g)*x*y*z]. Mỗi nguyên tử cho ta một tiết diện, π*r^2(Ar) = σ, che khuất các đường dẫn điện tử. Quan sát qua các mặt phẳng xy, tổng diện tích bị che bởi các nguyên tử sẽ được [n(g)*x*y*z*σ]. Khi khối lập phương kéo dài (mở rộng) như một đường tự do trung bình (λ), hầu như toàn bộ bề mặt (xy) sẽ được che khuất nên:

và điện tử có nhiều khả năng sẽ có một sự va chạm trong đó có một yếu tố trong bốn yếu tố trên các thông số tương ứng với kích thước của nguyên tử bắn phá (đạn).

Tần số của các va chạm có thể được ước tính cho các nguyên tử bắn phá (trong trường hợp này là các điện tử electron) với một tốc độ trung bình v(bar) là:

v = v(bar)*n(subscript g)*σ.

Sự tỷ lệ của đường tự do trung bình và tần số va chạm với áp lực, thông qua n(g), và năng lượng, thông qua v(bar), là phù hợp với trực giác.

Trong thực tế các tiết diện không thực sự độc lập về mặt năng lượng, ngay cả đối với va chạm đàn hồi. Các electron năng lượng cao có tốc độ xuyên qua tương đối nhanh và do đó các cơ hội tương tác với electron lớp vỏ bên ngoài trên một nguyên tử bị giảm xuống. Ngoài ra, ở mức năng lượng rất thấp, cơ học lượng tử có thể chiếm ưu thế, lấy một điện tử (electron) quay xung quanh một nguyên tử không có khả năng “đánh dấu” để tương tác trên một phạm vi hẹp của năng lượng – được gọi là hiệu ứng Ramsauer. Hình dưới đây minh họa các đặc tính này của argon, cũng biểu thị tiết diện của va chạm không đàn hồi. Tính diện hình cầu khoảng 3*10^-20 m^2.

*Ramsauer–Townsend effect

The Ramsauer–Townsend effect, also sometimes called the Ramsauer effect or the Townsend effect, is a physical phenomenon involving the scattering of low-energy electrons by atoms of a noble gas. Since its explanation requires the wave theory of quantum mechanics, it demonstrates the need for physical theories more sophisticated than those of Newtonian physics.

Definitions

When an electron moves through a gas, its interactions with the gas atoms cause scattering to occur. These interactions are classified as inelastic if they cause excitation or ionization of the atom to occur and elastic if they do not.

The probability of scattering in such a system is defined as the number of electrons scattered, per unit electron current, per unit path length, per unit pressure at 0°C, per unit solid angle. The number of collisions equals the total number of electrons scattered elastically and inelastically in all angles, and the probability of collision is the total number of collisions, per unit electron current, per unit path length, per unit pressure at 0°C.

Because noble gas atoms have a relatively high first ionization energy and the electrons do not carry enough energy to cause excited electronic states, ionization and excitation of the atom are unlikely, and the probability of elastic scattering over all angles is approximately equal to the probability of collision.

Description

The effect is named for Carl Ramsauer (1879-1955) and John Sealy Townsend (1868-1957), who each independently studied the collisions between atoms and low-energy electrons in the early 1920s.

If one tries to predict the probability of collision with a classical model that treats the electron and atom as hard spheres, one finds that the probability of collision should decrease monotonically with increasing electron energy. However, Ramsauer and Townsend observed that for slow-moving electrons in argon, krypton, or xenon, the probability of collision between the electrons and gas atoms obtains a minimum value for electrons with a certain amount of kinetic energy (about 0.7 electron volts for xenon gas). This is the Ramsauer-Townsend effect.

No good explanation for the phenomenon existed until the introduction of quantum mechanics, which explains that the effect results from the wave-like properties of the electron. A simple model of the collision that makes use of wave theory can predict the existence of the Ramsauer-Townsend minimum. Bohm presents one such model that considers the atom as a finite square potential well.

Predicting from theory the kinetic energy that will produce a Ramsauer-Townsend minimum is quite complicated since the problem involves relativistic, electron exchange, and spin polarisation effects. However, the problem has been extensively investigated both experimentally and theoretically and is well understood (see Johnson).

* Mean Free Path

The mean free path or average distance between collisions for a gas molecule may be estimated from kinetic theory. Serway’s approach is a good visualization – if the molecules have diameter d, then the effective cross-section for collision can be modeled by

using a circle of diameter 2d to represent a molecule’s effective collision area while treating the “target” molecules as point masses. In time t, the circle would sweep out the volume shown and the number of collisions can be estimated from the number of gas molecules that were in that volume.

The mean free path could then be taken as the length of the path divided by the number of collisions.

The problem with this expression is that the average molecular velocity is used, but the target molecules are also moving. The frequency of collisions depends upon the average relative velocity of the randomly moving molecules.

* Refinement of Mean Free Path

The intuitive development of the mean free path expression suffers from a significant flaw – it assumes that the “target” molecules are at rest when in fact they have a high average velocity. What is needed is the average relative velocity, and the calculation of that velocity from the molecular speed distribution yields the result

which revises the expression for the effective volume swept out in time t

The resulting mean free path is

The number of molecules per unit volume can be determined from Avogadro’s number and the ideal gas law, leading to

* Mean Free Path Perspective

You may be surprised by the length of the mean free path compared to the average molecular separation in an ideal gas. An atomic size of 0.3 nm was assumed to calculate the other distances.

Average Relative Velocity

In order to calculate the mean free path for a molecule of a gas, it is necessary to assess the average relative velocity of the molecules involved rather than just the average velocity of any given molecule. The relative velocity of any two molecules can be expressed in terms of their vector velocities.

The magnitude of the relative velocity can be expressed as the square root of the scalar product of the velocity with itself.

This expression can be expanded as follows.

Taking the average of the terms leads to

Since the same average velocity would be associated with each molecule, this becomes

Chúng ta có thể tìm hiểu thêm ở link sau:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/menfre.html

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: